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2024年5月13日
収束、上極限、下極限、ファトゥの補題(Lebesuge Measure)
2024年5月8日
σ加法族(Lebesgue Measure)
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べき集合
- $\varnothing\in\mathcal{F}$
- $A\in\mathcal{F} \implies A^c\in\mathcal{F}$
- $\{\boldsymbol{A}_j\}\subset\mathcal{F} \implies \bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\in\mathcal{F}$
可測集合族の測度(Lebesgue Measure)
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2024年5月7日
空集合、全体集合、零集合、補集合、和集合、積集合の可測性(Lebesgue Measure)
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ジョルダン、ルベーグ、カラテオドリ(Lebesgue Measure)
- ルベーグ測度:測る
- ベクトル空間:計算する
- $0\leq\mu(A)\leq\infty$
- $\mu(\varnothing)=0$
- $A\subset E \implies \mu(A)\leq\mu(E)$
- $A\subset\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j \implies \mu(A)\leq\sum_{j=1}^{\infty}A_j$
一般的理論に還元されてしまうと、数学は内容のない単なる美しい形式になってしまう。そしてそれはすぐに死にたえてしまう
2024年5月5日
距離空間の可分性(Metric Space)
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2024年5月4日
集合の直径、集合と集合の距離、集合と点の距離(Metric Space)
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2024年5月1日
ユークリッド空間(Metric Space)
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- すべての $x_1, x_2$ について、$0\leq d(x_1, x_2)<\infty$
- $x_1=x_2$ と $d(x_1, x_2)=0$ は同値である
- $x_1\neq x_2$ であるとき $d(x_1, x_2)=d(x_2, x_1)$
- $d(x_1, x_3)\leq d(x_1, x_2)+d(x_2, x_3)$
2024年4月30日
ベールのカテゴリー定理(Metric Space)
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2024年4月29日
リプシッツ連続とバナッハの不動点定理(Metric Space)
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不動点が得られるもうひとつの条件として、完備な距離空間を指定しています。完備とは、距離の測定値が必ず見つかるということです。距離を測ろうにも、その値が距離空間の中になければどうしようもありません。空間内には、穴が1つたりともあってはいけません。あらゆる測定値を返せなければなりません。
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内点、開集合、閉集合、内点集合、集積点、導集合、閉包(Metric Space)
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- 上界、下界:外点集合と境界点集合
- 上限、下限:境界点集合
- 開集合:内点集合
- 閉集合:内点集合と境界点集合
2024年4月28日
ε-n論法とε-δ論法(Metric Space)
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距離空間の定義、点、点列、部分列、収束列、コーシー列、開球、閉球(Metric Space)
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- すべての $x_1, x_2$ について、$0\leq d(x_1, x_2)<\infty$
- $x_1=x_2$ と $d(x_1, x_2)=0$ は同値である
- $x_1\neq x_2$ であるとき $d(x_1, x_2)=d(x_2, x_1)$
- $d(x_1, x_3)\leq d(x_1, x_2)+d(x_2, x_3)$
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2024年4月27日
連続の公理(Metric Space)
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生じうる分割の種類
- $A\neq\varnothing$ かつ $B\neq\varnothing$
- $X=A\cup B$
- $A$から取り出したすべての要素 $a$ と$B$から取り出したすべての要素 $b$ について、$a<b$
- $A$に最大元があり、$B$に最小元がある
- $A$に最大元があり、$B$に最小元がない
- $A$に最大元がなく、$B$に最小元がある
- $A$に最大元がなく、$B$に最小元がない
$$A_{\mathbb{R}}=(-\infty, 0.5] B_{\mathbb{R}}=(0.5, +\infty)$$
分割結果から有理数と実数の区別はつきません。同じものにみえます。ただ、集合の濃度は$|\mathbb{Q}|<|\mathbb{R}|$ですので、両者は明らかに異なります。分割結果からも有理数と実数の違いを特徴づけられるでしょうか。
ここで、実数の存在を知りつつ、有理数の集合だけを問題にするというアクロバティックな状況を考えます。話の見通しをよくするために有理数全体の集合$\mathbb{Q}$を、無理数$\sqrt{2}$を境に分割することを例にします。
$$A_{\mathbb{Q}}=(-\infty, \sqrt{2}) B_{\mathbb{Q}}=(\sqrt{2}, +\infty)$$
$A$と$B$いずれも開区間になりますので、ケース4に該当します。ケース4になるのは、境である$\sqrt{2}$が有理数ではなく無理数であるためです。無理数を含む実数全体の集合$\mathbb{R}$を$\sqrt{2}$までとそれ以降に分割すると、有理数とは異なる結果になります。
$$A_{\mathbb{R}}=(-\infty, \sqrt{2}] B_{\mathbb{R}}=(\sqrt{2}, +\infty)$$
連続の公理
この公理を認めれば、生じうる分割結果で数の種類を区分けできます。
自然数(整列集合):分割の結果、ケース1が生じる
有理数(全順序集合):分割の結果、ケース2, 3, 4が生じうる
実数(連続な全順序集合):分割の結果、ケース2または3が生じうる
実数の空間では、直角三角形の斜辺など、無理数が生じうる距離も測れます。実際に存在する長さを測れるようにしましょう、というのが連続の公理です。
デデキントの定理
- $A$に最大元があり、$B$に最小元がない
- $A$に最大元がなく、$B$に最小元がある
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https://www.youtube.com/watch?v=DM3kMk9c31Q
2024年4月26日
集合から空間へ(Metric Space)
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- 確率知りたい! → ルベーグ積分 → リーマン積分 → 関数
- $L^2$空間!ヒルベルト空間! → まず距離空間 → やはり関数
- フーリエ変換! → 複素解析 → まず実解析 → またまた関数
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$$|x-y|$$
2024年4月23日
公理と選択公理(Set Theory)
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「木」という文字を例に考えましょう。もし「木」という線分の組み合わせが🌳であったり、💦であったり、✈️であったり、人それぞれ異なるものを意味するのであれば、「木」は文字として使えなくなります。何がなんだか分からなくなります。
日本人である私たちは、デカルトの公理を無批判に正しいと評価する必要はありません。ただ、地球の裏側には、これを了解事項として生活している人も多くいるだろうと思うだけです。そういう意味で、公理は文化といえるのかもしれません。
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集合論に選択公理というものがあります。選択とは、直積を構成する集合それぞれから要素を選ぶという意味です。この公理の主張は
非空集合$J$で添字付けられた集合族$\{X_j\}_{j\in J}$がある。このとき、すべての $j$ について$X_j\neq\varnothing$であるなら、$X_j$の直積は空集合ではない。つまり
$$\prod_{j\in J}X_j\neq\varnothing$$
ここで
$$\prod_{j\in J}X_j\equiv\left\{f: \{1, 2, ..., J\}\rightarrow\bigcup_{j\in J}X_j|\forall j\in J, f(j)\in X_j\right\}$$
大宇宙の星々に生息する宇宙人に「私が笛を「ピッ」と吹いたら、各星の代表者1人ずつ一斉に出てきてね。代表者の選び方はそれぞれの星にまかせるから」と伝える。
これができる、すなわち笛を吹いた瞬間に、大宇宙の星々から代表者がサッと立ち現れると仮定しましょうよ、というのがこの公理です。
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2024年4月21日
集合の関係:整列と比較定理(Set Theory)
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整列
全順序$(X, R)$のすべての非空部分集合に最小元があるとき、整列集合(well-ordered set)といいます。ここで非空部分集合とは、部分集合が空集合ではないことを意味します。空集合$\varnothing$とは、お皿に何も載っていないイメージ(🍽️)です。空ではない要素は、お皿に何か食べ物が載っているイメージ(🍛)です。したがって、非空部分集合とは、順序を考える対象がある部分集合ということになります。
「実数の数直線上で、1より大きい最小の数は何でしょうか。1.01でしょうか。1より大きく1.01より小さい1.001があるので違います。では1.001はどうかというと、これも違います。1より大きく1.001より小さい1.0001があるからです。では、実数の数直線上で1より大きい最小の数は何かというと、答えようがないですよね…」
- 半順序:枝分かれがある、ややこしい順番がついた集合(支線がある路線図など)
- 全順序:1列にピシッと並ぶが、部分集合を取り出して「一番小さいのはこれ!」と指差し確認できない不思議な順番がついた集合(整数、有理数、実数など)
- 整列 :1列にピシッと並び、部分集合を取り出して「一番小さいのはこれ!」と指差し確認できる綺麗な順番がついた集合(整数、有限な全順序集合など)
※「集合の切片、最大元と最小元、上限と下限、極大元と極小元」という記事で切片について説明しました。切片は整列集合に適用します。
- $(X, R)$と$(Y, S)$は順序同型
- $(IS_X(\bar{x}), R)$と$(Y, S)$が順序同型となるような $\bar{x}$ が存在する
- $(X, R)$と$(IS_Y(\bar{y}), S)$が順序同型となるような $\bar{y}$ が存在する
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集合の特徴を調べるツールとして、写像、濃度、関係(同値、順序、整列)があります。
集合の関係:順序と順序同型(Set Theory)
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前回の記事から、二項関係について考えています。一般に、$X$の直積の部分集合$R\subset X\times X$を二項関係といい、$X$の直積を変域とする命題関数 $(x_1, x_2)\in R$を $x_1 R x_2$と表記します。二項関係には同値、順序、整列などがあります。これらのうち、前回は同値についてみました。この記事では順序についてみます。
順序
反射律:すべての$x$について、$x\leq x$が真
推移律:すべての$x_1, x_2, x_3$について、$x_1\leq x_2$が真かつ$x_2\leq x_3$
が真であれば、$x_1\leq x_3$は真
$$2\leq 2 4\leq 4 6\leq 6$$
これらの式は等号の意味で満たされています。つづいて推移律ですが
$$2\leq 4 かつ 4\leq 6 ならば 2\leq 6$$
明らかに$2\leq 4$は真、かつ$4\leq 6$は真です。そして$2\leq 6$も真です。難しそうにみえますが、順序は小学1年生から使っている概念です。上の2条件に加え、次に示す反対称律も満たす二項関係を半順序(partial oder)といいます。
反対称律:すべての$x_1, x_2$について、$x_1\leq x_2$が真かつ$x_2\leq x_1$が真
であれば、$x_1=x_2$は真
順序同型
$$1\stackrel{f}{\mapsto}みかん$$
$$2\stackrel{f}{\mapsto}りんご$$
$$3\stackrel{f}{\mapsto}いちご$$
- $(X, R)$と$(X, R)$は順序同型
- $(X, R)$と$(Y, S)$が順序同型であれば、$(Y, S)$と$(X, R)$も順序同型
- $(X, R)$と$(Y, S)$が順序同型、かつ$(Y, S)$と$(Z, T)$が順序同型であれば、$(X, R)$と$(Z, T)$は順序同型
これらはそれぞれ同値関係の反射律、対称律、推移律のイメージです。
2024年4月20日
集合の関係:同値(Set Theory)
※私は数学者ではありません。自分用のまとめとしてこれを書いています。楽しむ範囲でご覧いただければ幸いです。内容の正確性については専門家のサイトや動画、あるいは専門書で必ず確認をお願いします。
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$$(2, みかん), (2, りんご), (2, いちご),$$
同値
対称律:すべての$x_1, x_2$について、$x_1\sim x_2$が真なら$x_2\sim x_1$も真
推移律:すべての$x_1, x_2, x_3$について、$x_1\sim x_2$が真かつ$x_2\sim x_3$が
真なら$x_1\sim x_3$も真
$$[なし]=\{なし\}$$
集合の切片、最大元と最小元、上限と下限、極大元と極小元(Set Theory)
※私は数学者ではありません。自分用のまとめとしてこれを書いています。楽しむ範囲でご覧いただければ幸いです。内容の正確性については専門家のサイトや動画、あるいは専門書で必ず確認をお願いします。
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整列、半順序、全順序など、集合の要素の関係については次回以降の記事で詳しくみます。この記事で紹介した用語は今後も使いますので、その都度振り返りましょう。