距離空間の定義、点、点列、部分列、収束列、コーシー列、開球、閉球（Metric Space）

※私は数学者ではありません。自分用のまとめとしてこれを書いています。楽しむ範囲でご覧いただければ幸いです。内容の正確性については専門家のサイトや動画、あるいは専門書で必ず確認をお願いします。

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前回の記事で距離空間$(X, d)$を導入しました。距離空間を定義すると次のようになります。

集合$X$から取り出した要素$x_1, x_2, x_3$の距離 $d$ が次の条件を満たすとき、これを距離空間という。

1.  すべての $x_1, x_2$ について、$0\leq d(x_1, x_2)<\infty$
2.  $x_1=x_2$ と $d(x_1, x_2)=0$ は同値である
3.  $x_1\neq x_2$ であるとき $d(x_1, x_2)=d(x_2, x_1)$
4. $d(x_1, x_3)\leq d(x_1, x_2)+d(x_2, x_3)$

条件1は、私たちの日常感覚に合う条件です。距離は負値を取らず、また無限大にもなりません。条件2は、点の長さを0と定義するということです。条件3は前回の例で

$$d-c=28.9(cm)　　　c-d=-28.9(cm)$$

と、単純な引き算では異なる値になってしまうことをみました。これは距離の定義を満たしません。定義を満たすには、$d-c$ と $c-d$ の値が等しくなければなりません。このために絶対値という測りかたを導入しました。絶対値で測ると値は同じになり、距離の定義を満たします。

$$|d-c|=|c-d|=28.9(cm)$$

条件4は三角不等式といわれるものです。太っちょの三角定規📐の3辺の長さを例に考えましょう。斜辺は底辺と高さの和より短いです。

$$\sqrt{2}（斜辺）\leq 1（底辺）+1（高さ）$$

のっぽの三角定規の3辺の長さも、この条件を満たします。

$$2（斜辺）\leq 1（底辺）+\sqrt{3}（高さ）$$

距離一般がこの不等式を満たすというのが条件4です。

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距離空間$(X, d)$を分析するときによくみる用語をいくつか紹介します。以下、$x$は$X$の要素とします。

点

距離空間にある距離0の要素を点（point）といいます。距離0の定義は

$$x_1=x_2\iff d(x_1, x_2)=0$$

この定義にしたがって丁寧に書くと、$x_1, x_2$の座標をともに書くべきなのかもしれませんが、表記する座標が全く同じなので、$x_1$または$x_2$の座標のいずれか（どちらを書いても同じですが）を表記します。

数直線上の点の位置は、1つの数で表します。たとえば、数直線上の1に置かれた点の位置は$p=1$と表記します。座標平面上の点の位置は、2つの数の順序組で表します。たとえば、原点から東北へ$\sqrt{2}$だけ離れたところに置かれた点の位置は$P(1, 1)$と表記します。3次元空間内の点の位置は、3つの数の順序組で表現します。たとえば、原点から東北かつ上方$45^{\circ}$へ$\sqrt{3}$だけ離れたところに置かれた点の位置は $P(1, 1, 1)$と表記します。

一般に、$n$ 次元空間内の点の位置は $n$個の数の順序組（n-tuple）で表します。

点列

点を並べた整列集合を点列（sequence of points）といいます。これまで紹介した数学の用語で記述すると、自然数$\mathbb{N}$から整列集合である点への順序同型写像を点列といいます。数直線上の数列は数が並んだものですが、それを$n$ 次元空間に拡張した点列は $n$ 次元ベクトルが並んだものです。一般に、点列を次のように表記します。$x$が太字になっているのは、それぞれの$\boldsymbol{x}$がベクトルであることを強調するためです。

$$\{\boldsymbol{x}_j\}=\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \boldsymbol{x}_3, …$$

数字をふつうの太さで、ベクトルを太字で表記することが望ましいのですが、太字が多くなると読みづらくなる面もあります。そこで、このブログでは点の座標など、ベクトルであることが明らかなときには太字ではなく、ふつうの太さの文字で表記します。たとえば、次のように表記します。

$$\{\boldsymbol{x}_j\}=x_1, x_2, x_3, …$$

部分列

点列の要素の一部を取り出し、順序を保ちながら生成した点列を部分列（subsequence）といいます。たとえば、自然数$\mathbb{N}$から偶数だけ抜き出して$\{2, 4, 6, 8, …\}$と順序を保ちながら並べたものは部分列です。

収束列

点列の十分後ろにゆくと、点の位置がほとんど動かなくなることがあります。このような点列を収束列といいます。点列が$x^*$に向かう収束列であるとは

  $$\lim_{j\rightarrow\infty}d(x_j, x^*)=0$$

$x^*$に向かう収束列は、他の点には向かいません。これを収束の一意性といいます。

コーシー列

収束列の条件を緩めたものにコーシー列（Cauchy sequence）があります。収束列と同じように値がどんどん近づいてゆくイメージですが、収束列では点列があらかじめ定めた点に向かうのに対して、コーシー列では点列どうしの距離が近づいてゆく感じになります。距離空間$(X, d)$内の点列がコーシー列であるとは

  $$\lim_{j, k\rightarrow\infty}d(x_j, x_k)=0$$

ある点列が収束列であればコーシー列です。さらに、コーシー列であれば有界な点列です。よって次のような関係が成り立ちます。

$$収束列\subset コーシー列 \subset 有界列$$

開球と閉球

開区間を概念拡張したものを開球（open ball）といいます。数直線上の開区間 $(-1, -1)$を2次元平面に拡張すると、中心$(0, 0)$、半径1の縁が開いた円になります。さらに、3次元空間に拡張すると中心 $(0, 0, 0)$、半径1の表面が開いた球になります。距離空間では3次元をイメージした語を用いますので、こうしたものを開球といいます。球の中心は0でなくても構いません。一般に、$X$の要素である$x_0$を中心とする半径 $r$ の開球は、次のように表記します。

$$B_X(x_0, r)\equiv\{x\in X | d(x_0, x)<r\}$$

「球」というのは表現上のたとえです。数直線上の距離を考えるとき、開球は球ではなく区間です。平面上の距離を考えるとき、開球は球ではなく円です。3次元空間内の距離を考えるとき、開球は文字どおり球になります。

また、開球と対をなす閉球（closed ball）もあります。これは縁が閉じた球です。すなわち、不等号を等号付き不等号に代えたものです。

$$B_X(x_0, r)\equiv\{x\in X | d(x_0, x)\leq r\}$$

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これらの用語はいずれも分析に不可欠なツールです。折にふれ確認しましょう。