※私は数学者ではありません。自分用のまとめとしてこれを書いています。楽しむ範囲でご覧いただければ幸いです。内容の正確性については専門家のサイトや動画、あるいは専門書で必ず確認をお願いします。
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集合論に切片（segment）という用語があります。これは、1次関数のグラフの切片（intercept）とは異なります。1つの用語が複数の意味を持つとややこしくなりますので、翻訳するとき変えてほしかったです。英語では、segment：切り落とした後に残った部分との違いが明らかですので…
切片には、始切片（initial segment）と終切片（final segment）があります。集合の後のほうを切り落とした後、残った前のほうを始切片といいます。集合の前のほうを切り落とした後、残った後ろのほうを終切片といいます。ここでは、＝を含む広義の切片ではなく、＝を含まない狭義の切片について考えます。
集合$X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$を例にとります。この集合の要素5に関する始切片$IS_X(5)$は、$X$の要素のうち5より前の（小さい）ほうを集めた集合ですので
$$IS_X(5)=\{1, 2, 3, 4\}$$
となります。この始切片の要素のうち、終わり（最大）の要素である4を最大元（maximum element）といいます。そして、始切片の外にあり、後ろ（上）から始切片を抑える要素の集合$\{5, 6, 7\}$を上界（upper bound）、上界のうち始め（最小）の要素である5を最小上界（least upper bound）とか上限（supremum）といいます。
同様に、この集合の要素3に関する終切片$FS_X(3)$は、$X$の要素のうち3より後ろの（大きい）ほうを集めた集合ですので
$$FS_X(3)=\{4, 5, 6, 7\}$$
となります。この終切片の要素のうち、始め（最小）の要素である4を最小元（minimum element）といいます。そして、終切片の外にあり、前（下）から終切片を抑える要素の集合$\{1, 2, 3\}$を下界（lower bound）、下界のうち終わり（最大）の要素である3を最大下界（greatest lower bound）とか下限（infimum）といいます。
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この記事では、要素が一列に並ぶ集合$X=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$を例にしました。次回以降の記事で説明するように、集合の要素の関係には、分枝や合流を含むものもあります。こうした複雑な関係を絵にしたものがハッセ図です。
リンク先の図表に現れる、分枝内の順序はあるが、枝を越えて順序づけはしない、比較的緩やかな順序を半順序といいます。この半順序に適用するのが極小元（minimal element）と極大元（maximal element）です。最小元と最大元がある半順序集合の各分枝に注目すると、それぞれの分枝の始めの要素が極小元、終わりの要素が極大元です。分枝ごとに極小元と極大元を考えることができますので、1つの集合に複数の極小元と極大元がありえます。大まかに、分枝ごとの行き止まりのイメージです。
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整列、半順序、全順序など、集合の要素の関係については次回以降の記事で詳しくみます。この記事で紹介した用語は今後も使いますので、その都度振り返りましょう。