目次
- 対数の性質
- 指数関数の微分
- グラフ
この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。
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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）
1 対数の性質
指数関数を微分するとき、対数の性質を使います。ここで簡単にまとめます。
a 掛け算の対数 → 対数の足し算 log_axy=log_ax+log_ay
b 割り算の対数 → 対数の引き算 log_a\frac{x}{y}=log_ax-log_ay
c 指数の対数 → 係数×対数 log_ax^n=nlog_ax
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2 指数の微分
y=2^x を例に、指数関数の微分を説明します。まず、両辺自然対数を取ります。
\ln y=\ln 2^x
対数の性質 c を使って右辺の指数を係数にすると
\ln y=x\ln 2
x と \ln y の関係は次のように表せます。x がかすかに動くと y が動きます。y が動くと \ln y も動きます。
x\to (y=2^x)\to\ln y
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この関係に注意して、両辺を微分すると
右辺 (x\ln 2)'=\ln 2
左辺 (\ln y)'=(\ln y を y で微分)\times(2^x を x で微分)
左辺の第１要素は、定義から \frac{1}{y} です。第2要素は y' と表記されます。右辺と左辺を合わせると
\frac{1}{y}y'=\ln 2
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y' について解くと
y'=y\ln 2=2^x\ln 2
e を底とする指数関数の微分と比べると、\ln 2がついています。\ln 2 の値は0.693くらいです。e を底とする指数関数の微分では、これが1になります（\ln e=log_ee=1）。
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3 グラフ
下図は、底を2とする指数関数とその微分のグラフです。微分の値は、関数の値に係数 \ln 2 を掛けたものです。係数を掛けただけですので、グラフの概形はほぼおなじになります。
さいごに、底を10とする指数関数の微分のグラフも掲げます。同じ手順で微分して、y'=10^x\ln 10 となります。底を2とする指数関数の微分に比べて、増え方が著しいです。
今回は指数関数の微分について説明しました。計算が少し大変でしたので、細かいことろはわからなくても構いません。e 以外を底とする指数関数の微分には \ln (底の値) が係数としてつくことだけ覚えておきましょう。
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