目次
- 対数の性質
- 指数関数の微分
- グラフ
この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。
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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）
1 対数の性質
指数関数を微分するとき、対数の性質を使います。ここで簡単にまとめます。
a 掛け算の対数 → 対数の足し算 $log_axy=log_ax+log_ay$
b 割り算の対数 → 対数の引き算 $log_a\frac{x}{y}=log_ax-log_ay$
c 指数の対数 → 係数×対数 $log_ax^n=nlog_ax$
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2 指数の微分
$y=2^x$ を例に、指数関数の微分を説明します。まず、両辺自然対数を取ります。
$$\ln y=\ln 2^x$$
対数の性質 c を使って右辺の指数を係数にすると
$$\ln y=x\ln 2$$
$x$ と $\ln y$ の関係は次のように表せます。$x$ がかすかに動くと $y$ が動きます。$y$ が動くと $\ln y$ も動きます。
$$x\to (y=2^x)\to\ln y$$
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この関係に注意して、両辺を微分すると
右辺 $(x\ln 2)'=\ln 2$
左辺 $(\ln y)'=(\ln y を y で微分)\times(2^x を x で微分)$
左辺の第１要素は、定義から $\frac{1}{y}$ です。第2要素は $y'$ と表記されます。右辺と左辺を合わせると
$$\frac{1}{y}y'=\ln 2$$
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$y'$ について解くと
$$y'=y\ln 2=2^x\ln 2$$
$e$ を底とする指数関数の微分と比べると、$\ln 2$がついています。$\ln 2$ の値は0.693くらいです。$e$ を底とする指数関数の微分では、これが1になります（$\ln e=log_ee=1$）。
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3 グラフ
下図は、底を2とする指数関数とその微分のグラフです。微分の値は、関数の値に係数 $\ln 2$ を掛けたものです。係数を掛けただけですので、グラフの概形はほぼおなじになります。
さいごに、底を10とする指数関数の微分のグラフも掲げます。同じ手順で微分して、$y'=10^x\ln 10$ となります。底を2とする指数関数の微分に比べて、増え方が著しいです。
今回は指数関数の微分について説明しました。計算が少し大変でしたので、細かいことろはわからなくても構いません。$e$ 以外を底とする指数関数の微分には $\ln (底の値)$ が係数としてつくことだけ覚えておきましょう。
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