目次
- 底の変換公式
- 対数関数の微分
- グラフ
この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。
（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）
1 底の変換公式
対数に、底の変換公式というものがあります。自然対数を用いて表すと
$$log_ax=\frac {\ln x}{\ln a} $$
対数関数を微分するとき、この公式を使います。この式が成り立つことは、記事の一番下で説明しています。少し複雑ですので、興味のある人だけみてください。そこまで興味がない人は、公式として覚えておきましょう。
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2 対数関数の微分
前々回説明した対数関数 $y=log_2x$ を例に、対数関数の微分を説明します。底の変換公式を使って
$$y=\frac{log_e{x}}{log_e2}$$
自然対数の記号を使って表現すると
$$y=\frac{\ln x}{\ln 2}$$
右辺の分母 $\ln 2$ は0.693くらいの値を取ります。自然対数の微分は、前回定義したように $\frac{1}{x}$ です。よって
$$y'=\frac{1}{\ln 2}\frac{1}{x}$$
これで微分できました。前回自然対数を定義したおかげで、比較的簡単に微分できました。自然対数の関数の微分と比べて、$\frac{1}{\ln 2}$ という係数が掛けられている点が異なります。対数の真数が $e$ であるとき、この値は1となります（$\frac{1}{\ln e}=1$）。
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3 グラフ
下図は底を2とする対数関数とその微分のグラフです。関数の特徴をいくつか示します。
$x\leq0$ のとき、$y$ と $y'$ は定義できない
$x\to 0$ のとき、$y\to -\infty$、$y'\to +\infty$
$x=1$ のとき、$y=0$、$y'=1$
これらの特徴は、前回紹介した自然対数の関数の特徴と同じです。
10を底とする対数関数の微分についてもみておきましょう。同じ手順から
$$y'=\frac{1}{\ln 10}\frac{1}{x}$$
下図は対数関数の微分を比べたものです。2を底とする対数関数の微分の方が動きが大きいです。これは、対数関数の回にも書きましたが
底が2のとき、$x$ が2増えると桁が繰り上がる
底が10のとき、$x$ が10増えると桁が繰り上がる
という違いによります。
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補論：底の変換公式について
この記事のはじめに底の変換公式を示しました。
$$log_ax=\frac {\ln x}{\ln a} $$
この式が成り立つことを説明します。左辺は「$a$ を何回掛けると $x$ になりますか」という問いかけです。この問いの答えを $b$ として、指数で表すと
$$a^b=x$$
両辺自然対数を取ると
$$\ln a^b=\ln x$$
左辺の $b$ を係数にして
$$b\ln a=\ln x$$
$b$ について解くと
$$b=\frac{\ln x}{\ln a}$$
$a^b=x$を対数で表すと
$$b=log_ax$$
これを代入すると
$$log_ax=\frac {\ln x}{\ln a} $$
底の変換公式が得られました。他にも次のような公式があります。必要に応じて活用しましょう。
掛け算の対数 → 対数の足し算 $log_axy=log_ax+log_ay$
割り算の対数 → 対数の引き算 $log_a\frac{x}{y}=log_ax-log_ay$
指数の対数 → 係数×対数 $log_ax^n=nlog_ax$