対数関数の微分

今回は対数関数の微分です。前回説明したネイピア数 $e$ を使って微分します。苦手な人向けにできるかぎりやさしく書きましたので、是非ご覧ください。

目次

1. 底の変換公式
2. 対数関数の微分
3. グラフ

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　底の変換公式

対数に、底の変換公式というものがあります。自然対数を用いて表すと

$$log_ax=\frac {\ln x}{\ln a}$$

対数関数を微分するとき、この公式を使います。この式が成り立つことは、記事の一番下で説明しています。少し複雑ですので、興味のある人だけみてください。そこまで興味がない人は、公式として覚えておきましょう。

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2　対数関数の微分

前々回説明した対数関数 $y=log_2x$ を例に、対数関数の微分を説明します。底の変換公式を使って

$$y=\frac{log_e{x}}{log_e2}$$

自然対数の記号を使って表現すると

$$y=\frac{\ln x}{\ln 2}$$

右辺の分母 $\ln 2$ は0.693くらいの値を取ります。自然対数の微分は、前回定義したように $\frac{1}{x}$ です。よって

$$y'=\frac{1}{\ln 2}\frac{1}{x}$$

これで微分できました。前回自然対数を定義したおかげで、比較的簡単に微分できました。自然対数の関数の微分と比べて、$\frac{1}{\ln 2}$ という係数が掛けられている点が異なります。対数の真数が $e$ であるとき、この値は1となります（$\frac{1}{\ln e}=1$）。

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3　グラフ

下図は底を2とする対数関数とその微分のグラフです。関数の特徴をいくつか示します。

$x\leq0$ のとき、$y$ と $y'$ は定義できない
$x\to 0$ のとき、$y\to -\infty$、$y'\to +\infty$
$x=1$ のとき、$y=0$、$y'=1$

これらの特徴は、前回紹介した自然対数の関数の特徴と同じです。

10を底とする対数関数の微分についてもみておきましょう。同じ手順から

$$y'=\frac{1}{\ln 10}\frac{1}{x}$$

下図は対数関数の微分を比べたものです。2を底とする対数関数の微分の方が動きが大きいです。これは、対数関数の回にも書きましたが

底が2のとき、$x$ が2増えると桁が繰り上がる
底が10のとき、$x$ が10増えると桁が繰り上がる

という違いによります。

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補論：底の変換公式について

この記事のはじめに底の変換公式を示しました。

$$log_ax=\frac {\ln x}{\ln a}$$

この式が成り立つことを説明します。左辺は「$a$ を何回掛けると $x$  になりますか」という問いかけです。この問いの答えを $b$ として、指数で表すと

$$a^b=x$$

両辺自然対数を取ると

$$\ln a^b=\ln x$$

左辺の $b$ を係数にして

$$b\ln a=\ln x$$

$b$ について解くと

$$b=\frac{\ln x}{\ln a}$$

$a^b=x$を対数で表すと

$$b=log_ax$$

これを代入すると

$$log_ax=\frac {\ln x}{\ln a}$$

底の変換公式が得られました。他にも次のような公式があります。必要に応じて活用しましょう。

掛け算の対数 → 対数の足し算　$log_axy=log_ax+log_ay$

割り算の対数 → 対数の引き算　$log_a\frac{x}{y}=log_ax-log_ay$

指数の対数　 → 係数×対数 　　$log_ax^n=nlog_ax$