ブログのスタートとして、数のひろがりをみましょう。
目次
- 数を並べる
- 足し算と引き算
- 掛け算と割り算
- マイナスの掛け算
- 数のひろがり
この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。
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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）
1 数を並べる
1, 2, 3, …と数え上げていく数を自然数といいます。自然数を含んで0, -1, -2, -3, …と続いていく数を整数といい、整数を含んで分数で表せる数を有理数といいます。$\frac{1}{10}$ や $-\frac{3}{2}$ は有理数です。分数で表せない数を無理数といいます。自然対数の底 $e$ や円周率 $\pi$ は無理数です。有理数と無理数を合わせて実数といいます。
数直線にびっしり並んでいる、これが実数のイメージです。
数直線にびっしり並んでいる、これが実数のイメージです。
* 自然数に0を含めることもあるようです。
* 有理数の分数は既約分数（それ以上約分できない分数）です。
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2 足し算と引き算
数直線を使うと、四則演算（＋, ー, ×, ÷）をイメージしやすくなります。足し算と引き算は、数直線を行ったり来たりするイメージです。
まず足し算からみましょう。1＋2は0を起点に1進み、さらに2進むイメージです。到達地点は3ですから、1＋2＝3となります。
つづいて引き算です。2ー3は0を起点に2進み、3戻るイメージです。到達地点はー1ですから、2ー3＝ー1となります。
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3 掛け算と割り算
掛け算と割り算は、伸び縮みのイメージです。
まず、掛け算からみましょう。1×2は1を2倍に引き伸ばすイメージです。到達地点は2ですから、1×2＝2となります。
つづいて、割り算です。割り算は逆数の掛け算ととらえます。4÷2であれば、4×$\frac{1}{2}$ ととらえます。4を半分に縮めるイメージです。よって4÷2＝2となります。
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マイナスの掛け算は、伸びを0を中心に反転させるイメージです。例として $1\times(-2)$ を挙げます。$1\times(-2)$ は次のように分解することができます。
$$1\times(-2)=1\times2\times(-1)$$
上で説明したように、1×2は、1を2倍に引き伸ばすイメージです。最後のー1は、0を中心に反転させるイメージです。到達地点はー2ですから、$1\times(-2)=-2$ となります。
最後の反転を可能にするのが $e^{i\pi}=-1$ という謎の公式です。
* $e^{i\pi}$ にある $i$ は虚数単位 $i=\sqrt{-1}$です。この式は、オイラーの贈り物といわれています。
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まとめとして、数のひろがりを振り返ります。1, 2, 3, …と数え上げる数を自然数といいます。自然数に0, -1, -2, -3, …と続く数を加えたものが整数、整数を含み分数で表せる数を有理数といいます。有理数に分数で表せない数（無理数）を加えたものが実数です。
実数だけではマイナスの掛け算をきれいに表現できません。それで、数のフィールドを複素数へひろげます。
$i$ があれば、全て丸く収まる
と、落ちがついたところで今日はおしまいです。
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YouTubeの動画を参考にしました。英語が聞き取れなくても、みるだけでイマジネーションがひろがります。ぜひみてください。
https://www.youtube.com/watch?v=mvmuCPvRoWQ
https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg