集合の関係：整列と比較定理（Set Theory）

※私は数学者ではありません。自分用のまとめとしてこれを書いています。楽しむ範囲でご覧いただければ幸いです。内容の正確性については専門家のサイトや動画、あるいは専門書で必ず確認をお願いします。

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前々回の記事から二項関係について考えています。一般に、$X$の直積の部分集合$R\subset X\times X$を二項関係といい、$X$の直積を変域とする命題関数 $(x_1, x_2)\in R$を $x_1 R x_2$と表記します。二項関係には同値、順序、整列などがあります。これらのうち、前回は順序についてみました。この記事では整列についてみます。

整列
全順序$(X, R)$のすべての非空部分集合に最小元があるとき、整列集合（well-ordered set）といいます。ここで非空部分集合とは、部分集合が空集合ではないことを意味します。空集合$\varnothing$とは、お皿に何も載っていないイメージ（🍽️）です。空ではない要素は、お皿に何か食べ物が載っているイメージ（🍛）です。したがって、非空部分集合とは、順序を考える対象がある部分集合ということになります。

自然数$\mathbb{N}=\{1, 2, 3, …\}$は整列集合です。なぜかというと、自然数は全順序であり、かつすべての非空部分集合に最小元があるからです。自然数の部分集合の例を3つ挙げます。

$$\{1\}　　\{5, 6, 7, 8, 9, 10\}　　\{100, 101, 102, 103, …\}$$

1つめの部分集合の最小元は1、2つめの部分集合の最小元は5、3つめの部分集合の最小元は100です。他の非空部分集合すべてにも最小元があります。よって自然数は整列集合です。

自然数は1を始点としますが、整数$\mathbb{Z}$はマイナス無限大まで数の範囲が広がります。無始無終ですので始点がありません。したがって、とりかたによっては部分集合に最小元がないこともあります。よって整数は整列集合ではありません。

有理数$\mathbb{Q}$と実数$\mathbb{R}$も整列集合ではありません。これについては、「集合の濃度」の記事で書いた次の文が参考になります。

「実数の数直線上で、1より大きい最小の数は何でしょうか。1.01でしょうか。1より大きく1.01より小さい1.001があるので違います。では1.001はどうかというと、これも違います。1より大きく1.001より小さい1.0001があるからです。では、実数の数直線上で1より大きい最小の数は何かというと、答えようがないですよね…」

実数から部分集合$(1, 2)$を取り出してみましょう。この部分集合は実数の開区間ですので、最小元を見つけられません。よって実数は整列集合ではありません。有理数についても同様の議論から整列集合でないことが確かめられます。

イメージとして、こんな感じでよいのではないでしょうか。

• 半順序：枝分かれがある、ややこしい順番がついた集合（支線がある路線図など）
• 全順序：１列にピシッと並ぶが、部分集合を取り出して「一番小さいのはこれ！」と指差し確認できない不思議な順番がついた集合（整数、有理数、実数など）
• 整列　：１列にピシッと並び、部分集合を取り出して「一番小さいのはこれ！」と指差し確認できる綺麗な順番がついた集合（整数、有限な全順序集合など）

※「集合の切片、最大元と最小元、上限と下限、極大元と極小元」という記事で切片について説明しました。切片は整列集合に適用します。

整列集合の比較定理

整列集合に関する定理として、比較定理というものがあります。これは次のようなものです。

整列集合$(X, R)$、$(Y, S)$について以下のいずれか1つが成り立つ。

• $(X, R)$と$(Y, S)$は順序同型
• $(IS_X(\bar{x}), R)$と$(Y, S)$が順序同型となるような $\bar{x}$ が存在する
• $(X, R)$と$(IS_Y(\bar{y}), S)$が順序同型となるような $\bar{y}$ が存在する

ここで、$IS_X(\bar{x})$は集合$X$の要素 $\bar{x}$ に関する始切片、$IS_Y(\bar{y})$は集合 $Y$の要素 $\bar{y}$ に関する始切片です。3つのうち1つも成り立たないことはなく、また3つのうち2つ以上が成り立つこともありません。3つのうちいずれか1つだけが成り立つという定理です。イメージだけ書くと、1つめは$X$と$Y$の濃度が等しい、2つめは$X$の濃度が$Y$より高い、3つめは $X$の濃度が$Y$より低い状況を描写したものと思われます。

「こんなの当たり前だよ…」と思われることも、数学ではとてつもなく丁寧に確かめます。正に「石橋を叩いて渡る」です。当たり前にみえることを早合点しないのが、上達の近道なのかもしれません。私たち文系は、気軽に「ロジック、ロジック」と言いますが、本当のロジックを知っている人の前で「ロジック」という言葉は気軽に使わない方がよいのかもしれません。

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集合の特徴を調べるツールとして、写像、濃度、関係（同値、順序、整列）があります。