※私は数学者ではありません。自分用のまとめとしてこれを書いています。楽しむ範囲でご覧いただければ幸いです。内容の正確性については専門家のサイトや動画、あるいは専門書で必ず確認をお願いします。
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前回の記事の終わりに収束という言葉を用いました。今回は収束を調べる重要なツールであるε-n論法とε-δ論法を紹介します。
ε-n論法
この論法は、点列の収束を調べるときに使います。ここでは前回紹介した収束列を例に概観します。まずは定義を振り返りましょう。距離空間 $(X, d)$内の点列が$X$の元 $x^*$に向かう収束列であるとは
$$\lim_{j\rightarrow\infty}d( x_j, x^*)=0$$
これと同値な言明は
すべての $\varepsilon$ についてある順番 $\bar{j}$ が存在し、その順番以降のすべての点 $x_j$について $d(x_j, x^*)<\varepsilon$となる。
さらに、開球を用いた同値な言明は
すべての $\varepsilon$ についてある順番 $\bar{j}$ が存在し、その順番以降のすべての点 $x_j$について $x_j\in B_X(x^*, \varepsilon)$となる。
このように、収束の定義に $\varepsilon$ と $n$（ここでは空間の次元に $n$ を用いているので代わりに $j$ で表記しています）が登場することから、イタリックで書いたように点列の収束を調べる方法をε-n論法といいます。
なんだか難しそうですが、点列が小さな球に収まるのであれば、もうそれはどこへも行かずそこに止まるということです。収束とは、もうどこへも行かないということです。
ε-δ論法
この論法は、写像の収束を調べるときに使います。距離空間$(X, d_X)$から孤立点を除いた部分集合 $E$ から $(Y, d_Y)$への写像 $f$ が $x^*$で連続であるとは
$$\lim_{x\rightarrow x^*}f(x)=f(x^*)$$
これと同値な言明は
すべての $\varepsilon$ について、$d_X(x, x^*)<\delta$ の像が $d_Y(f(x), f(x^*))<\varepsilon$ を満たすような $\delta$ が存在する。
さらに、開球を用いた同値な言明は
すべての $\varepsilon$ について、$x\in B_X(x^*, \delta)$ の像が $f(x)\in B_Y(f(x^*), \varepsilon)$ を満たすような $\delta$ が存在する。
さらにコンパクトに表現すると
すべての $\varepsilon$ について、$f(E\cap B_X(x^*, \delta))\subset B_Y(f(x^*), \varepsilon)$ となる $\delta$ が存在する。
プログラミングのコードを書き慣れてくると、できるだけコンパクトに表現したくなりますよね。なんだかそんな感じです。収束の定義に $\varepsilon$ と $\delta$ が登場することから、イタリックで書いたように写像の収束を調べる方法をε-δ論法といいます。
これもとてつもなく難しそうですが、定義域の収束先である$x^*$を中心とする小さな球の中から点を取り出して得られる像は、像の収束先である $f(x^*)$ を中心とする小さな球に収まるということです。出所も行先も収束先のすぐそばというのは、収束の定義そのものです。
ここで定義域から孤立点を除いたのは、$x^*$が孤立点であるとき、そこへ向かう点列を作りようがないためです。絶海の孤島がゴールであるとき、そこへ徒歩で向かえますか？ 無理ですよね。それで孤立点をあらかじめ除きます。
集合論の記法は、論理の穴を見つけるのにとても便利だと思います。これまで収束を調べるとき、孤立点について考えたことがありませんでした。『数の落とし子』の動画はとても学びが多いです。このブログの応用編の大半は、動画を拝見した自分なりのまとめノートです。
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さらに理解を深めるには、内点、内点集合、集積点、孤立点、導集合、閉包などの用語を知らなければなりません。すべてつながっていることが見えてくると、学びが止まらなくなります。