目次
- 指数の性質
- ルート関数
- ルート関数の微分
- グラフ
この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。
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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）
1 指数の性質
ルート関数を理解するのに必要な指数の性質を紹介します。
指数の和 $x^px^q=x^{p+q}$
$\frac{1}{2}$ 乗 $x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}$
$-1$ 乗 $x^{-1}=\frac{1}{x}$
これらの性質については、この記事の一番下で説明します。興味のある人はみてください。そこまで興味がない人は、公式として暗記しましょう。
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2 ルート関数
ルート関数とは、$x$ がルートの中に入っている関数です。一般には、次のように書きます。
$$y=a\sqrt{bx+c}$$
ここでa、b、c は定数です。$a=3$、$b=1$、$c=1$ のとき、ルート関数は
$$y=3\sqrt{x+2}$$
数のフィールドを実数とするとき、ルートの中はマイナスをとれませんので、$x\geq-2$ という条件がつきます。下図はルート関数のグラフです。$x<-2$ では、この関数は定義されません。また、定数 $a$ がプラスの値を取っていますから、$y$ はマイナスの値を取りません。このルート関数は、点 $(0,-2)$ から右上に向かって進む曲線で表されます。
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3 ルート関数の微分
上で例として用いたルート関数を微分して、導関数を求めましょう。
$$y=3\sqrt{x+2}$$
記事のはじめに示したように、ルートは $\frac{1}{2}$ 乗です。よって
$$y=3(x+2)^\frac{1}{2}$$
$x$ と $3(x+2)^\frac{1}{2}$ の関係は次のように表せます。$x$ がかすかに動くと $x+2$ が動きます。$x+2$ が動くと $y$ も動きます。
$$x\to (x+2)\to y$$
この連動に注意して微分します。ルート関数は複雑にみえますが、手順はｎ次関数の微分と同じです。
この連動に注意して微分します。ルート関数は複雑にみえますが、手順はｎ次関数の微分と同じです。
a $x$ の肩に乗っている（べき）指数という重荷をおろす
b 重荷を1回おろしたことを記録する
c 式をきれいにする
まず、肩の重荷をおろします（a）。
$$\frac{1}{2}3(x+2)^{\frac{1}{2}}$$
つづいて、重荷を1回おろしたことを記録します（b）。
$$\frac{1}{2}3(x+2)^{\frac{1}{2}-1}$$
$x$ と $(x+2)$ は連動しているので
$$\frac{1}{2}3(x+2)^{-\frac{1}{2}}\times((x+2)を x で微分)$$
$(x+2)$ を $x$ で微分すると1になります。よって
$$\frac{1}{2}3(x+2)^{-\frac{1}{2}}\times 1$$
これをきれいにすれば微分の完成です（c）。$\frac{1}{2}$ 乗はルートに、$-1$ 乗は分母になることに注意して
$$\frac{3}{2}(\sqrt{x+2})^{-1}$$
$$\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{x+2}}$$
$(x+2)$ を $x$ で微分すると1になります。よって
$$\frac{1}{2}3(x+2)^{-\frac{1}{2}}\times 1$$
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これをきれいにすれば微分の完成です（c）。$\frac{1}{2}$ 乗はルートに、$-1$ 乗は分母になることに注意して
$$\frac{3}{2}(\sqrt{x+2})^{-1}$$
$$\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{x+2}}$$
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4 グラフ
下図はルート関数とその微分のグラフです。微分の式に $x$ がありますので、増えかたは $x$ の値によって変わります。 $x$ が下限の $-2$ にとても近いとき、関数の値は急増します。$x$ の値が大きくなるにしたがい、微分の値は小さくなり、増えかたはゆっくりになります。これは $x$ が微分の式の分母にあるためです。
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補論 指数の性質について
この記事のはじめに紹介した指数の3つの性質について説明します。
a 指数の和 $x^px^q=x^{p+q}$
b $\frac{1}{2}$ 乗 $x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}$
c $-1$ 乗 $x^{-1}=\frac{1}{x}$
まず、aからみましょう。$x^p$ は $x$ を $p$ 回掛けたものです。$x^q$ は $x$ を $q$ 回掛けたものです。$p=2、q=3$ とすると
$$x^2x^3=(x\times x)\times (x\times x\times x)$$
合わせて $x$ を5回掛けていることがわかります。よって
$$x^2x^3=(x\times x)\times (x\times x\times x)=x^5=x^{2+3}$$
2を $p$、3を $q$ にもどすと
$$x^px^q=x^{p+q}$$
私たちの目的にはこれで十分です。つづいて、性質ｂです。ルートは $\frac{1}{2}$ 乗で表されます。2乗するとルート記号の中の数になるというのがルートですから
$$\sqrt{x}\sqrt{x}=x$$
ルートを指数 $x^a$ で表せるとしましょう。左辺を置き換えると
$$\sqrt{x}\sqrt{x}=x^ax^a=x^{a+a}=x^{2a}$$
右辺は $x=x^1$ と表されます。左辺と右辺を合わせると
$$x^{2a}=x^1$$
左辺は「$x$ を $2a$ 回掛ける」こと、右辺は「$x$ を1回掛ける」ことを意味します。これが等号で結ばれるためには、$2a=1$ が成り立たなければなりません。よって
$$a=\frac{1}{2}$$
これを代入すると
$$\sqrt{x}=x^a=x^{\frac{1}{2}}$$
さいごに性質 c をみましょう。性質 a の $p と q$ を $p=2、q=-1$ とおきます。すると
$$x^2x^{-1}=x^{2+(-1)}=x$$
また、$x^{-1}=s$ とおくと
$$x^2x^{-1}=x^2s$$
2つの結果を等号で結ぶと
$$x=x^2s$$
$s$ について解くと
$$s=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$$
性質 c が成り立つことが示されました。