基礎のその先へ

今回は姉妹ブログを紹介します。ブログの名前は

『はじめてのR言語』
https://easy-r-pro.blogspot.com/2020/04/blog-post_10.html

です。前回の記事にも書きましたが、文系の立場では、数学を道具として使う、イメージ重視で楽しむことが大切です。プログラミング言語はこのような目的の助けとなります。イメージの助けを借りると、少し進んだ話も理解しやすくなります。

Rというプログラミング言語は、個人で楽しむときには無料ですし、書かなければならなないコードもシンプルです。セットアップもPythonなどより楽です。はじめての人にうってつけの言語だと思います。

「エクセルは使ったことあるけど、プログラミングは…」と二の足を踏んでいる人に是非みていただき、「Rってエクセルより簡単かも…」と思っていただければ幸いです。

数学の楽しみ方

今回は、いったんのまとめとしてDesmosというウェブ上のアプリを紹介します。遊び感覚で数学をイメージできるようになる楽しいアプリです。加えて、イマジネーションをひろげたい人向けに3Blue1Brown、しっかり取り組みたい人向けに数の落とし子を紹介します。（私は関係者ではありません、念のため…）


目次

1. ウェブサイトのご案内
2. このブログで紹介してきた関数
3. 三角関数
4. 3Blue1Brown
5. 数の落とし子
6. 大学の先生

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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1　ウェブサイトのご案内

Desmosというとても面白い描画ツールがネットにあります。アドレスはこちらです。アプリもあるようですので、タブレットなどでも遊べると思います。
https://www.desmos.com/

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2　このブログで紹介してきた関数

このブログで紹介してきた関数を描いてみましょう。

・n次関数
このブログでは、1次関数、2次関数、3次関数を紹介してきました。これらはすべてDesmosで描くことができます。

1次関数　y=ax+b
2次関数　y=ax^2+bx+c
3次関数　y=ax^3+bx^2+cx+d

これらを半角英数で左上に入力してみてください。すると「スライダーを追加」という項目が出ますので、「すべて」をクリックしましょう。すると、1次関数なら、$a$ と $b$ の値をいろいろ変えてグラフのようすをみることができます。形が大胆に変わり、とても面白いです。

・指数と対数の関数
すごいなと思いますのは、このアプリで指数と対数の関数も描けることです。それぞれ次のように入力してみてください。

指数関数　y=a^x
対数関数　y=log_ax

先ほどと同じように「スライダーを追加」という項目が出ますので、「すべて」をクリックしましょう。そして $a$ の値をいろいろ変えてみてください。 関数の特徴がよくわかります。

私たちは文系ですので、細かい計算は気にしなくて構いません。重要なのはイメージです。イメージが広がるようにぐりぐり動かしてみてください。

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3　三角関数

このブログでは紹介していない三角関数についても描けます。このアプリ、無料・無登録で使えるのに、とてつもなくすばらしいですね。

三角関数　y=a sin bx+c cos dx

と入力してください。そして、「スライダーを追加」で、「すべて」をクリックしましょう。$a,b,c,d$ の値をいろいろ変えてみましょう。音波のような波があらわれます。

こういう便利なものを活用してイメージを膨らませましょう。そして、少しでも苦手意識をなくしていただければと思います。

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4　3Blue1Brown

YouTubeをみていましたら、3Blue1Brownという驚くべき動画集をみつけました。論より証拠、次の動画シリーズをみてください。まさにイマジネーションの宝庫です。こんなふうに教えてもらったら、数学嫌いの人がとても少なくなるのに…

（3Blue1Brown）

このブログですでにいくつか紹介していますが、シリーズとおしてみることをお勧めします。理解の深みが全く違ってくるはずです。

最近は日本語のナレーションのものもあるようです。東京大学の有志の方が取り組んでいるようです。数学の深み、広がりを日本語で学べるようになり、大変ありがたいです。絵の動きだけみてもイメージが爆発的に広がると思います。

https://www.youtube.com/@3Blue1BrownJapan

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5　数の落とし子

3Blue1Brownを見て「数学に取り組んでみたい！」と思った人におすすめです。数学を学びたいと思って数学書を開いても、はじめの1ページ目から何も分からず、挫折を繰り返していました。「私の頭では、数学は分かるようにならないか…」と諦めていたところ、この動画シリーズに出会いました。

私のような者が書くのは僭越ですが、とても丁寧に、1ステップを10ステップくらいに細分化して、多くの人が登れるよう配慮されていると感じます。プロの数学者の方が動画を作成していらっしゃるようですので、安心です。文系の私たちは「ロジック、ロジック」と気軽に言いますが、数学者のロジックに触れると、人前で「ロジック」という言葉を使うのが恥ずかしくなります…

（数の落とし子）

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6　大学の先生の動画

最近は大学の先生も動画を出してくださっています。私が見つけられた2つのチャンネルを紹介します。とてつもない講義をいつでもどこからでもみられる、本当にいい時代ですね。楽しみましょう！

山口大学の堀田先生の動画

https://www.youtube.com/@ikkeihotta

立命館大学の安部先生の動画

https://www.youtube.com/@tetsuyaabe2010

ルート関数

今回はルート関数です。少し変わったタイプの関数ですが、慣れればそれほど難しいものではありません。苦手な人にみてもらえると嬉しいです。

目次

1. 指数の性質
2. ルート関数
3. ルート関数の微分
4. グラフ

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　指数の性質

ルート関数を理解するのに必要な指数の性質を紹介します。

指数の和　$x^px^q=x^{p+q}$

$\frac{1}{2}$ 乗　　$x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}$

$-1$ 乗 　$x^{-1}=\frac{1}{x}$

これらの性質については、この記事の一番下で説明します。興味のある人はみてください。そこまで興味がない人は、公式として暗記しましょう。

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2　ルート関数

ルート関数とは、$x$ がルートの中に入っている関数です。一般には、次のように書きます。

$$y=a\sqrt{bx+c}$$

ここでa、b、c は定数です。$a=3$、$b=1$、$c=2$ のとき、ルート関数は

$$y=3\sqrt{x+2}$$

数のフィールドを実数とするとき、ルートの中はマイナスをとれませんので、$x\geq-2$ という条件がつきます。下図はルート関数のグラフです。$x<-2$ では、この関数は定義されません。また、定数 $a$ がプラスの値を取っていますから、$y$ はマイナスの値を取りません。このルート関数は、点 $(0,-2)$ から右上に向かって進む曲線で表されます。

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3　ルート関数の微分

上で例として用いたルート関数を微分して、導関数を求めましょう。

$$y=3\sqrt{x+2}$$

記事のはじめに示したように、ルートは $\frac{1}{2}$ 乗です。よって

$$y=3(x+2)^\frac{1}{2}$$

$x$ と $3(x+2)^\frac{1}{2}$ の関係は次のように表せます。$x$ がかすかに動くと $x+2$ が動きます。$x+2$ が動くと $y$ も動きます。

$$x\to (x+2)\to y$$

この連動に注意して微分します。ルート関数は複雑にみえますが、手順はｎ次関数の微分と同じです。

a　$x$ の肩に乗っている（べき）指数という重荷をおろす

b　重荷を1回おろしたことを記録する

c　式をきれいにする

まず、肩の重荷をおろします（a）。

$$\frac{1}{2}3(x+2)^{\frac{1}{2}}$$

つづいて、重荷を1回おろしたことを記録します（b）。

$$\frac{1}{2}3(x+2)^{\frac{1}{2}-1}$$

$x$ と $(x+2)$ は連動しているので

$$\frac{1}{2}3(x+2)^{-\frac{1}{2}}\times((x+2)を x で微分)$$

$(x+2)$ を $x$ で微分すると1になります。よって

$$\frac{1}{2}3(x+2)^{-\frac{1}{2}}\times 1$$

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これをきれいにすれば微分の完成です（c）。$\frac{1}{2}$ 乗はルートに、$-1$ 乗は分母になることに注意して

$$\frac{3}{2}(\sqrt{x+2})^{-1}$$
$$\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt{x+2}}$$

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4　グラフ

下図はルート関数とその微分のグラフです。微分の式に $x$ がありますので、増えかたは $x$ の値によって変わります。 $x$ が下限の $-2$ にとても近いとき、関数の値は急増します。$x$ の値が大きくなるにしたがい、微分の値は小さくなり、増えかたはゆっくりになります。これは $x$ が微分の式の分母にあるためです。　

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補論　指数の性質について

この記事のはじめに紹介した指数の3つの性質について説明します。

a　指数の和　$x^px^q=x^{p+q}$

b　$\frac{1}{2}$ 乗　　$x^\frac{1}{2}=\sqrt{x}$

c　$-1$ 乗 　$x^{-1}=\frac{1}{x}$

まず、aからみましょう。$x^p$ は $x$ を $p$ 回掛けたものです。$x^q$ は $x$ を $q$ 回掛けたものです。$p=2、q=3$ とすると

$$x^2x^3=(x\times x)\times (x\times x\times x)$$

合わせて $x$ を5回掛けていることがわかります。よって

$$x^2x^3=(x\times x)\times (x\times x\times x)=x^5=x^{2+3}$$

2を $p$、3を $q$ にもどすと

$$x^px^q=x^{p+q}$$

私たちの目的にはこれで十分です。つづいて、性質ｂです。ルートは $\frac{1}{2}$ 乗で表されます。2乗するとルート記号の中の数になるというのがルートですから

$$\sqrt{x}\sqrt{x}=x$$

ルートを指数 $x^a$ で表せるとしましょう。左辺を置き換えると

$$\sqrt{x}\sqrt{x}=x^ax^a=x^{a+a}=x^{2a}$$

右辺は $x=x^1$ と表されます。左辺と右辺を合わせると

$$x^{2a}=x^1$$

左辺は「$x$ を $2a$ 回掛ける」こと、右辺は「$x$ を1回掛ける」ことを意味します。これが等号で結ばれるためには、$2a=1$ が成り立たなければなりません。よって

$$a=\frac{1}{2}$$

これを代入すると

$$\sqrt{x}=x^a=x^{\frac{1}{2}}$$

さいごに性質 c をみましょう。性質 a の $p と q$ を $p=2、q=-1$ とおきます。すると

$$x^2x^{-1}=x^{2+(-1)}=x$$

また、$x^{-1}=s$ とおくと

$$x^2x^{-1}=x^2s$$

2つの結果を等号で結ぶと

$$x=x^2s$$

$s$ について解くと

$$s=\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$$

性質 c が成り立つことが示されました。

指数関数の微分

今回は指数関数の微分です。前回得た自然対数の底 $e$ を使います。

目次

1. 対数の性質
2. 指数関数の微分
3. グラフ

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　対数の性質

指数関数を微分するとき、対数の性質を使います。ここで簡単にまとめます。

a  掛け算の対数 → 対数の足し算　$log_axy=log_ax+log_ay$

b  割り算の対数 → 対数の引き算　$log_a\frac{x}{y}=log_ax-log_ay$

c  指数の対数　 → 係数×対数 　　$log_ax^n=nlog_ax$

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2　指数の微分

$y=2^x$  を例に、指数関数の微分を説明します。まず、両辺自然対数を取ります。

$$\ln y=\ln 2^x$$

対数の性質 c を使って右辺の指数を係数にすると

$$\ln y=x\ln 2$$

$x$ と $\ln y$ の関係は次のように表せます。$x$ がかすかに動くと $y$ が動きます。$y$ が動くと $\ln y$ も動きます。

$$x\to (y=2^x)\to\ln y$$  

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この関係に注意して、両辺を微分すると

右辺　$(x\ln 2)'=\ln 2$

左辺　$(\ln y)'=(\ln y を y で微分)\times(2^x を x で微分)$

左辺の第１要素は、定義から $\frac{1}{y}$ です。第2要素は $y'$ と表記されます。右辺と左辺を合わせると

$$\frac{1}{y}y'=\ln 2$$  

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$y'$ について解くと

$$y'=y\ln 2=2^x\ln 2$$  

$e$ を底とする指数関数の微分と比べると、$\ln 2$がついています。$\ln 2$ の値は0.693くらいです。$e$ を底とする指数関数の微分では、これが1になります（$\ln e=log_ee=1$）。

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3　グラフ

下図は、底を2とする指数関数とその微分のグラフです。微分の値は、関数の値に係数 $\ln 2$ を掛けたものです。係数を掛けただけですので、グラフの概形はほぼおなじになります。

さいごに、底を10とする指数関数の微分のグラフも掲げます。同じ手順で微分して、$y'=10^x\ln 10$ となります。底を2とする指数関数の微分に比べて、増え方が著しいです。

今回は指数関数の微分について説明しました。計算が少し大変でしたので、細かいことろはわからなくても構いません。$e$ 以外を底とする指数関数の微分には $\ln (底の値)$ が係数としてつくことだけ覚えておきましょう。

もっと深く知りたい人はこちらを…

https://www.youtube.com/watch?v=YG15m2VwSjA
https://www.youtube.com/watch?v=v0YEaeIClKY

対数関数の微分

今回は対数関数の微分です。前回説明したネイピア数 $e$ を使って微分します。苦手な人向けにできるかぎりやさしく書きましたので、是非ご覧ください。

目次

1. 底の変換公式
2. 対数関数の微分
3. グラフ

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　底の変換公式

対数に、底の変換公式というものがあります。自然対数を用いて表すと

$$log_ax=\frac {\ln x}{\ln a}$$

対数関数を微分するとき、この公式を使います。この式が成り立つことは、記事の一番下で説明しています。少し複雑ですので、興味のある人だけみてください。そこまで興味がない人は、公式として覚えておきましょう。

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2　対数関数の微分

前々回説明した対数関数 $y=log_2x$ を例に、対数関数の微分を説明します。底の変換公式を使って

$$y=\frac{log_e{x}}{log_e2}$$

自然対数の記号を使って表現すると

$$y=\frac{\ln x}{\ln 2}$$

右辺の分母 $\ln 2$ は0.693くらいの値を取ります。自然対数の微分は、前回定義したように $\frac{1}{x}$ です。よって

$$y'=\frac{1}{\ln 2}\frac{1}{x}$$

これで微分できました。前回自然対数を定義したおかげで、比較的簡単に微分できました。自然対数の関数の微分と比べて、$\frac{1}{\ln 2}$ という係数が掛けられている点が異なります。対数の真数が $e$ であるとき、この値は1となります（$\frac{1}{\ln e}=1$）。

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3　グラフ

下図は底を2とする対数関数とその微分のグラフです。関数の特徴をいくつか示します。

$x\leq0$ のとき、$y$ と $y'$ は定義できない
$x\to 0$ のとき、$y\to -\infty$、$y'\to +\infty$
$x=1$ のとき、$y=0$、$y'=1$

これらの特徴は、前回紹介した自然対数の関数の特徴と同じです。

10を底とする対数関数の微分についてもみておきましょう。同じ手順から

$$y'=\frac{1}{\ln 10}\frac{1}{x}$$

下図は対数関数の微分を比べたものです。2を底とする対数関数の微分の方が動きが大きいです。これは、対数関数の回にも書きましたが

底が2のとき、$x$ が2増えると桁が繰り上がる
底が10のとき、$x$ が10増えると桁が繰り上がる

という違いによります。

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補論：底の変換公式について

この記事のはじめに底の変換公式を示しました。

$$log_ax=\frac {\ln x}{\ln a}$$

この式が成り立つことを説明します。左辺は「$a$ を何回掛けると $x$  になりますか」という問いかけです。この問いの答えを $b$ として、指数で表すと

$$a^b=x$$

両辺自然対数を取ると

$$\ln a^b=\ln x$$

左辺の $b$ を係数にして

$$b\ln a=\ln x$$

$b$ について解くと

$$b=\frac{\ln x}{\ln a}$$

$a^b=x$を対数で表すと

$$b=log_ax$$

これを代入すると

$$log_ax=\frac {\ln x}{\ln a}$$

底の変換公式が得られました。他にも次のような公式があります。必要に応じて活用しましょう。

掛け算の対数 → 対数の足し算　$log_axy=log_ax+log_ay$

割り算の対数 → 対数の引き算　$log_a\frac{x}{y}=log_ax-log_ay$

指数の対数　 → 係数×対数 　　$log_ax^n=nlog_ax$

ネイピア数 e

今回はネイピア数 $e$ についてです。ネイピア数とは自然対数の底のことです。苦手な人に読んでいただければ幸いです。

目次

1. ネイピア数とは
2. 底が $e$ の対数関数
3. 底が $e$ の指数関数
4. 対数と指数の関係

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　ネイピア数とは

ネイピア数 $e$ の「ネイピア」は、対数を発見したといわれるジョン・ネイピア（1550-1617）という人の名前です。ネイピア数は、ネイピアの考えをもとに、ヤコブ・ベルヌーイ（1654-1705）が計算したとされています。記号 $e$ はレオンハルト・オイラー（1707-1783）が使いはじめたようです。200年くらいの時間、3人の天才によって熟成されてきたのがネイピア数です。

ネイピア数は、次に示すように、小数点以下無限に続く数です。

$$e=2.7182818284...$$

前々回、ｎ次関数の微分はa、ｂ、ｃの3段階でできると説明しました。対数関数の微分は、この3段階が使えないので難しいです。それで、難しい微分を楽にする特別な対数の底を考えることにしました。これが $e$ です。

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2　底が $e$ の対数関数

とても大胆な発想ですが、対数の微分が $\frac{1}{x}$ になるような対数の底を考えます。すなわち

$$(log_ax)'=\frac{1}{x}$$

となる $a$ を考えます。このように定義した $a$ がどんな値を取るか、微分の定義式を使って調べてみましょう。微分の定義式は

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

この式は、$x$ がかすかに（0に限りなく近い $h$ だけ）動いたとき、関数の値がどれほど動くか（分子の引き算）を表しています。この定義式の分子に対数関数を代入すると

$$\lim_{h\to 0}\frac{log_a(x+h)-log_ax}{h}$$

下図は、この定義式と $\frac{1}{x}$ の値を比べたものです。定義式と $\frac{1}{x}$ の値が等しくなるのは $a$ の値が2.7182818284... のときです。この $a$ を $e$ と定義します。











* $x=10$ としてプロットした。$e$ の値は $x$ の値によらない。

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$e$ を底とする対数を自然対数といいます。自然対数の関数は次のように表記されることがあります。

$$y=log_{e}x\equiv \ln x$$

この対数関数の微分は、定義から

$$y'=\frac{1}{x}$$

下図は $y=\ln x$ と $y'$ のグラフです。関数の特徴をいくつか示します。

$x<0$ のとき、$y$ と $y'$ は定義できない
$x\to 0$ のとき、$y\to -\infty$、$y'\to +\infty$
$x=1$ のとき、$y=0$、$y'=1$

$x$ の値が0にとても近いとき、$y$ の値は $-\infty$ にとても近くなります。$-\infty$ はとてつもなく小さな数です。$x$ が0近傍からわずかに増えると $y$ の値は想像を絶するほど増えます。宇宙の谷底から光速でグワッと浮き上がってくるイメージです。$x=1$ のとき、自然対数の値は0、微分の値は1となります。$x>1$ のとき、微分の値は1より小さくなります。$x$ の値がとても大きいとき、微分の値は0にとても近くなります。$y$ の値はとてもゆっくり増えるようになります。

（動画で無限小と言ってしまっていますが、正しくはマイナス無限大です…）
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3　底が $e$ の指数関数

つづいて、底が $e$ の指数関数を考えます。なんとも不思議なことに、底が $e$ の指数関数の微分は微分前の関数と全く同じです。

$$y=e^x、　y'=e^x$$

下図は $y=e^x$ と $y'=e^x$ のグラフです。関数の特徴を示します。

$x=0$ のとき、$y=1$、$y'=1$
$x=1$ のとき、$y=e$、$y'=e$

指数関数は、すべての $x$ の値について $y$ と $y'$ を定義できます。$x$ の値がとても小さいとき、$y$ と $y'$ はいずれも0にとても近い値を取ります。$x$ の値が1を超えると $y$ と $y'$ はいずれも急増します。$x$ の値がとても大きいとき、$y$ と $y'$ はいずれもとても大きな値を取ります。

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$e$ を底とする関数の微分が関数自身になることを、微分の定義式を使って確かめましょう。微分の定義式は

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

この定義式の分子に $a$ を底とする指数関数を代入すると

$$\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}$$

下図は、この定義式と 微分の値 $e^x$ の値を比べたものです。定義式と $e^x$ の値が等しくなるのは $a$ の値が2.7182818284... のときです。











$e$ は、対数関数の微分の値が $\frac{1}{x}$ となるような対数の底、かつ指数関数の微分の値が $e^x$ となるような底です。とても不思議で面白いですね。

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4　対数と指数の関係

対数と指数は互いに逆関数の関係にあります。まず、指数から対数の関係をみましょう。指数関数 $y=e^x$ について、$x=2$ のときの $y$ の値は

$$y=e^2=7.389...$$

この値を対数関数 $x=\ln y$ に代入すると

$$y=\ln 7.389＝2$$

不思議なことにはじめの数、2に戻りました。このように数がもとに戻る関数のペアを逆関数といいます。さらに、得た $y$ の値 2を指数関数に代入すると

$$y=e^2=7.389...$$

7.389...という値に戻ります。したがって、対数から指数をみても、逆関数の関係にあります。この結果をもとに

$$y=ln e^y、　x=e^{ln x}$$

という関係が導かれます。









今回は、とてつもなく不思議な数 $e$ についてでした。このように $e$ を定義すると、対数と指数の微分がとても楽になります。この点については次回以降みることにしましょう。


ネイピア数の詳細はこちらを。イメージをひろげましょう！
https://www.youtube.com/watch?v=m2MIpDrF7Es
https://www.youtube.com/watch?v=sULa9Lc4pck

さらに学びを深めたい人は、結城浩『群論への第一歩 集合、写像から準同型定理まで』第5章をご覧ください。

指数と対数の関数

今回は指数と対数の関数についてです。苦手な人向けに、できるかぎりやさしく説明します。

目次

1. 指数関数
2. 指数関数の特徴
3. 指数関数のグラフ
4. 対数関数
5. 対数関数のグラフ

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　指数関数

前回までｎ次関数について学びました。たとえば、もっともシンプルな2次関数は次のように書けます。

$$y=x^2$$

2を底とする指数関数は、これとよく似ていますが次のように書きます。

$$y=2^x$$

2と $x$ の位置が入れ替わっています。たったこれだけのことで、式が難しくなります。

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2　指数関数の特徴

よくみる指数関数 $y=2^x$ と $y=10^x$ を例に説明します。まず、$y=2^x$ からです。この式は、$x$ が増えるにしたがい、2を掛ける回数が増えることを表しています。

$x=0$ のとき、$y=2^0=1$

$x=1$ のとき、$y=2^1=2$

$x=2$ のとき、$y=2^2=2\times2=4$

$x=3$ のとき、$y=2^3=2\times2\times2=8$

噂を伝え聞いた人が、その噂を1日に2人へひろめるとしましょう。1人が流し始めた噂は、10日で1,024人に伝わります。「これくらい？」という感じですが、27日目には、日本の全人口より多い134,217,728人に伝わります。2を底とする指数関数は、こうした爆発的な現象をうまくとらえます。

つづいて、$y=10^x$ についてみます。この式は、$x$ が増えるにしたがい、10を掛ける回数が増えることを表しています。

$x=0$ のとき、$y=10^0=1$

$x=1$ のとき、$y=10^1=10$

$x=2$ のとき、$y=10^2=10\times10=100$

$x=3$ のとき、$y=10^3=10\times10\times10=1,000$

地震の揺れの大きさを表すマグニチュードという単位があります。揺れを引き起こすエネルギーを $E$、マグニチュードを $M$ とおくと

$$E=10^{1.5M+4.8}$$

という式が成り立ちます。この式を使って、マグニチュードが2のときと4のときのエネルギーを比べると

$$E=10^{1.5\times2+4.8}\approx 63,095,734$$

$$E=10^{1.5\times4+4.8}\approx 63,095,734,448$$

エネルギーは1,000倍になります。すなわち、マグニチュードが2上がるとエネルギーは3桁上がります。

（この例でわかるように、べき指数（ここでは$1.5M+4.8$）は整数でないこともあります。べき指数が整数でなくても、エクセルなどで計算できますので心配いりません。）

重要なのは、2を底とする指数関数は倍々ゲームの現象、10を底とする指数関数は桁が繰り上がる現象をうまく記述するということです。

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3　指数関数のグラフ

下図は指数関数のグラフです。$y=10^x$ は、$y=2^x$ より増えかたが激しいです。これは、$x$ が1増えるたびに1桁繰り上がるためです。

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4　対数関数

指数関数と対数関数の関係をみましょう。上で用いた指数関数の $x$ と$y$ を入れ替えて考えます。まず、底を2とする指数関数を $x=2^y$ と表します。この式は「2を $y$ 乗すると $x$ になる」ことを表しています。おなじことを対数で表現すると

$$y=log_2x$$

となります。10を底とする指数関数 $x=10^y$ も対数を使って

$$y=log_{10}x$$

と表現できます。このように、指数関数と対数関数はペアの関係にあります。指数関数が表す $y→x$ の関係は、対数関数が表す $x→y$ の関係とおなじです。このような関係にある関数のペアを逆関数といいます。

*  *  *

5　対数関数のグラフ

下図は対数関数のグラフです。興味深いことに、$y=log_{10}x$ のグラフは $y=log_2x$ のグラフを上下から押しつぶしたようになっています。これは、2進数は $x$ が2増えるごとに桁が繰り上がるのに対して、10進数は10増えないと桁が繰り上がらないためです。

「進数」という用語には難しい意味がありますが、私たちは、「10進数はふつうの数の数え方」、「2進数はコンピューターに応用される特殊な数の数え方」と覚えておけば十分だと思います。

ｎ次関数の微分

今回はｎ次関数の微分です。ここでは難しい微分の定義ではなく、とりあえず計算ができるようになることを目標に説明します。

目次

1. 微分とは
2. 1次関数の微分
3. 2次関数の微分
4. 3次関数の微分

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　微分とは

「$x$ がかすかに動いたとき $y$ はどれくらい動くか」を調べるものが微分です。関数の値は増えるのか、減るのか、変わらないのかをみたり、最大値や最小値を調べるときに使います。

微分の定義は難しいので、ここでは機械的に微分の計算ができる手順を紹介します。手順は3段階です。

a　$x$の肩に乗っている（べき）指数という重荷をおろす

b　重荷を1回おろしたことを記録する

c　式をきれいにする

ｎ次関数も、もっと複雑な関数も、基本この3段階の手順で微分ができます。微分をして得られる関数を導関数といいます。微分の記号にはいくつかあります。よくみる記号は

$$y'、f'(x)、(f(x))'、\frac{dy}{dx}$$

はじめの2つはみたことがあるのではないでしょうか。後の2つも微分の記号です。これら4つの記号はみな同じ意味を持ちます。

微分の準備として、指数の性質をおさらいしておきましょう。これだけわかれば今回は大丈夫です。

0乗：　$x^0=1$

1乗：　$x^1=x$

べき指数の引き算：$x^{2-1}=x^1=x$

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2　1次関数の微分

前回紹介した $y=x+2$ という1次関数を微分します。$x$ は第2項にありませんが、$2=2\times1=2\times x^0$ と書き直すことができます。よって微分する関数は

$$y=x^1+2x^0$$

となります。これをa、b、cの3段階で微分します。まず、肩の重荷をおろします（a）。第1項の肩に乗っている1、第2項の肩に乗っている0を、それぞれおろします。

$$1\times x^1+0\times 2x^0$$

つづいて、重荷を1回降ろしたことを忘れないように、べき指数にー1を書き加えます（ｂ）。

$$1\times x^{1-1}+0\times 2x^{0-1}$$

この式をきれいにすれば微分の完成です（ｃ）。第2項は0の掛け算ですから0になります。第1項は

$$1\times x^{1-1}=x^0=1$$

よって、1次関数 $y=x+2$ の1階の導関数は

$$y'=1$$

となります。値が数字の1であるということは、$x$ がかすかに動いたとき、$y$ も同じだけ動くことを意味します。$x$ の増えかたは一定であることがわかりました。

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3　2次関数の微分

前回紹介した $y=-x^2+2x-3$ という2次関数を微分します。手順は1次関数のときとまったく同じです。微分の準備として、すべての項に $x$ をつけます。

$$y=-x^2+2x^1-3x^0$$

ここからa、b、cの3段階です。まず肩の重荷をおろします（a）。

$$2\times (-x^2)+1\times 2x^1-0\times 3x^0$$

つづいて、重荷を1回降ろしたことを忘れないように、べき指数にー1を書き加えます（ｂ）。

$$2\times (-x^{2-1})+1\times 2x^{1-1}-0\times 3x^{0-1}$$

この式をきれいにすれば微分の完成です（ｃ）。第3項は0の掛け算ですから0になります。第1項と第2項は

$$-2x+2$$

よって、2次関数 $y=-x^2+2x-3$ の1階の導関数は

$$y'=-2x+2$$

となります。導関数に $x$ があるということは、$x$ がかすかに動いたとき、$y$ がどう動くかは $x$ の値次第ということを意味します。この点について下図をみましょう。$x<1$のとき導関数の値はプラスです。この領域では、$x$ がかすかに動いたとき、$y$ は増えます。$x=1$ のとき導関数の値は0になります。この点では、$x$ がかすかに動いたとき、$y$の値は変わりません。$x>1$のとき導関数の値はマイナスです。この領域では、$x$ がかすかに動いたとき、$y$ は減ります。

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4　3次関数の微分

前回紹介した $y=x^3-2x^2+3x-4$ という3次関数を微分します。手順は同じです。微分の準備として、すべての項に $x$ をつけます。

$$y=x^3-2x^2+3x^1-4x^0$$

ここからa、b、cの3段階です。まず肩の重荷をおろします（a）。

$$3\times x^3-2\times 2x^2+1\times 3x^1-0\times 4x^0$$

つづいて、重荷を1回降ろしたことを忘れないように、べき指数にー1を書き加えます（ｂ）。

$$3\times x^{3-1}-2\times 2x^{2-1}+1\times 3x^{1-1}-0\times 4x^{0-1}$$

この式をきれにすれば微分の完成です（ｃ）。第4項は0の掛け算ですから0になります。そのほかの項は

$$3x^2-4x+3$$

よって、3次関数 $y=x^3-2x^2+3x-4$  の1階の導関数は

$$y'=3x^2-4x+3$$

となります。導関数に $x^2$ と $x$ があるということは、$x$ がかすかに動いたとき、$y$ がどう動くかは $x$ の値次第ということを意味します。この点について下図をみましょう。$x<0$のとき導関数の値はプラスです。この領域では、$x$ がかすかに動いたとき、$y$ は増えます。$x=0$ のとき導関数の値は0になります。この点では、$x$ がかすかに動いたとき、$y$の値は変わりません。$x>0$のとき導関数の値はプラスです。この領域では、$x$ がかすかに動いたとき、$y$ は増えます。再度増加に転ずる前に小休止する $x=0$ の地点を変曲点といいます。

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このように、関数の次数が変わっても、微分の手順はまったく同じです。a、b、cの3段階は、もっと複雑な関数の微分にも使えますので是非覚えましょう。

a　$x$ の肩に乗っている（べき）指数という重荷をおろす

b　重荷を1回おろしたことを記録する

c　式をきれいにする

  

微分の詳細はこちらを。イメージをひろげましょう！
https://www.youtube.com/watch?v=9vKqVkMQHKk
https://www.youtube.com/watch?v=S0_qX4VJhMQ

https://www.youtube.com/watch?v=kfF40MiS7zA

ｎ次関数（1次、2次、3次の関数）

1次関数、2次関数、3次関数などのｎ次関数は、よくみる関数です。今回はｎ次関数のグラフの形をみます。

目次

1. 　1次関数
2. 　2次関数
3. 　3次関数

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　1次関数

1次関数とは、 $x$ の（べき）指数のうち最大のものが1、すなわち式に出てくる最大の指数が $x^1$（$=x$）である関数です。一般には、次のように書きます。

$$y=ax+b$$

ここで、$a$ と $b$ は定数です。$a=1$、$b=2$ のとき1次関数は

$$y=x+2$$

となります。下図はこの1次関数をグラフにしたものです。グラフは傾き1、切片2の直線になります。切片（せっぺん）とは、$x$ が0のときの $y$ の値です。

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2　2次関数

2次関数とは、 $x$ の（べき）指数のうち最大のものが2、すなわち式に出てくる最大の指数が $x^2$ である関数です。一般には次のように書きます。

$$y=ax^2+bx+c$$

$a=-1$、$b=2$、$c=-3$ のとき2次関数は

$$y=-x^2+2x-3$$

となります。下図はこの2次関数をグラフにしたものです。グラフは放物線になります。放物線とは、空に向かって投げたボールが描く軌跡です。$x^2$の項が加わっただけで、1次関数とは全く違った形になります。

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3　3次関数

3次関数とは、 $x$ の（べき）指数のうち最大のものが3、すなわち式に出てくる最大の指数が $x^3$ である関数です。一般には次のように書きます。

$$y=ax^3+bx^2+cx+d$$

$a=1$、$b=-2$、$c=3$、$d=-4$ のとき3次関数は

$$y=x^3-2x^2+3x-4$$

となります。下図はこの3次関数をグラフにしたものです。グラフは曲がりくねっています。1次関数とも2次関数とも違う、不思議な形をしています。

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今回はｎ次関数を紹介しました。まずはグラフの形をイメージできるようになりましょう。慣れ親しんでいけば、そんなに難しいものではありませんので…

指数と対数

今回は、指数と対数についてです。指数と対数が苦手な人向けです。是非最後までご覧ください。

目次

1. 指数
2. 対数
3. 指数と対数の表記

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　指数

同じ数を何度も掛けたものをコンパクトに表したものを指数といいます。たとえば、10を5回掛けることを次のように表現します。

$$10\times10\times10\times10\times10\times=10^5$$

右辺の $10^5$ に大きく書いた10を「指数の底」、右上に小さく書いた5を「べき指数」、あるいは単に「指数」といいます。

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指数を使うと、ものすごく大きい数がみやすくなります。たとえば、1光年という距離の単位があります。これは、1秒で地球を7周半する光が1年に進む距離で

$$9,500,000,000,000,000$$

mくらいです。大きな数字に慣れた人は9,500兆m、と読み取れますが、ふつうの人はあまりに桁数が多いので戸惑ってしまいます。指数を使えば、これを

$$9.5\times10^{15}$$

と表せます。随分みやすくなりました。桁がどんどん繰り上がる現象は、底が10の指数で表します。

* 1光年のより正確な距離については、こちら

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底が10である指数をグラフにしてみましょう。横軸に（べき）指数、縦軸に距離（m）をとっています。左図は1光年までのグラフです。途中まで横軸に張り付いているようにみえますが、最後にグッと垂直に近い角度で上がっています。桁がどんどん繰り上がっていきますので、このようなグラフになります。右図は10光年までのグラフです。10光年の距離は1光年の距離の10倍です。それで、10光年の10分の1である1光年は下に位置しています。

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2　対数

上のグラフは、途中まで横軸にはりついていてわかりにくいです。グラフをみやすくするために、指数の（べき）指数だけ取り出してみましょう。

指数の（べき）指数だけ取り出したものを対数といいます。たとえば、下式は $10^{15}$ の対数です。$\log$ は対数を意味しています。$\log$ の右下に小さく書いてある10を「対数の底」、その右に書いてある $10^{15}$ を「真数」といいます。10を底とする対数はよく使われますので、常用対数といいます。

$$\log_{10}10^{15}$$

この式は、「10を何乗すると$10^{15}$になりますか」と問いかけています。10を15乗すると$10^{15}$になりますので、問いの答えは15です。よって

$$\log_{10}10^{15}=15$$

常用対数は大きな数字の桁数、規模感をとらえたいときに使います。

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1光年を常用対数で表してみましょう。1光年はだいたい

$$9.5\times10^{15}$$

ｍです。常用対数をとると

$$\log_{10}(9.5\times10^{15})$$

対数の中の掛け算は、対数の足し算で表せるので

$$\log_{10}9.5+\log_{10}10^{15}$$

第2項の値は15ですので

$$\log_{10}9.5+15$$

$\log_{10}10$ は「10を何乗すると10になりますか」という問いですから、値は1になります。第1項の真数9.5は10に非常に近い値ですから、$\log_{10}9.5$ の値は1に近いと予想されます。常用対数表の9.5のところをみると、少数第4位までの値は0.9777です。よって、式の値は16くらいになります。

下のグラフは横軸に真数の（べき）指数、縦軸に常用対数を取っています。ここに $y=\log_{10}(9.5\times10^{x})$ のグラフを書いています。この式は

$$y=\log_{10}9.5+x$$

と変形できますので、$x$ と $y$ は直線の関係になります。16に近いところに1光年の点があります。10光年はそのすぐ右上にあります。上に掲げた指数関数のグラフと比べてください。とてもみやすくなっていると思います。

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指数についてまとめましょう。桁が大きな数は指数で表すとみやすくなります。たとえば、1光年を指数で表記すると

$$9,500,000,000,000,000=9.5\times10^{15}$$

指数関数のグラフはとてもみにくいです。対数をとると指数関数が急増する手前の状況がみやすくなります。1光年の常用対数は

$$\log_{10}9.5\times10^{15}\approx16$$

となります。

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3　指数と対数の表記

さいごに、指数と対数の基本的な表記法をまとめておきます。a の1乗は a を1回掛けることですから、答えは a です。対数は「底を何乗すると真数になりますか」という問いですから、a の1乗を対数表記すると右のようになります。a の0乗は a を0回掛けることです。この値は1と定義されています。対数表記すると右のようになります。a のー1乗は a の逆数となります。対数表記すると右のようになります。

a の1乗　：　$a^1=a$　　$log_aa=1$
a の0乗　：　$a^0=1$　　$log_a1=0$
a のー1乗：　$a^{-1}=\frac{1}{a}$　　$log_a\frac{1}{a}=-1$

このほかにもいつくか公式のようなものがあります。今日使ったのはそのうち掛け算を足し算で表現する下式です。

$$\log_{a}xy=\log_{a}x+\log_{a}y$$

指数と対数は見慣れないものですので、苦手な人が多いと思います。この記事が参考になれば幸いです。

より深いことを知りたい人はこちらをご覧ください。
https://www.youtube.com/watch?v=sULa9Lc4pck

変数、定数、関数

今回は、変数、定数、関数についてです。

目次

1. 変数
2. 定数
3. 関数
4. 関数のグラフ

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　変数

値が変わりうるものを変数といいます。たとえば、お店の販売量や売上はお客さんの入り、天気、季節柄などによって変わりますので変数です。また、駅の利用者数や荷物の配達個数、株価や30℃を超える日数も変数です。私たちのまわりには、変数がたくさんあります。変数は $x、y、z$ のような後ろの方のアルファベットで表すことが多いです。

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2　定数

値が定まっているものを定数といいます。例えば、高校の物理に出てくる光の速さはだいたい $3億m/秒$ です。また、ガリレオがピサの斜塔から重りを落として発見したといわれる重力加速度は $9.8m/秒^2$ です。これらは値が定まっている定数です。

条件を整えれば結果が変わらない物理現象には定数が登場します。多くの人が自由に行動する経済現象には、はっきりとした定数がありません。「これは変わらないもの」と仮に決めて定数にしています。定数は $a$、$b$、$c$ のような前の方のアルファベットで表すことが多いです。

* 光の速さについてはこちら。実験映像はこちら。　

* 重力加速度についてはこちら。真空で実験しています。

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変数のイメージは、「ぷるぷるしている」とか「じっとしていない」です。定数のイメージは「でーんとしている」とか「じっとしている」です。ご主人様が帰宅したとき、犬は玄関へ走って行って喜びを表現しますが、猫はじっとしています。変数＝🐕、定数＝🐈とイメージするとよいかもしれません。

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3　関数

変数どうしの関係を関数といいます（古いテキストには函数と書いてありますが、同じものです）。たとえば、販売量と売上の関係は関数です。この関係を $f$ という記号で表してみましょう。

$$f：販売量 → 売上$$

数学のテキストに、このような "→" を用いた表現があったのを覚えている人もいるかもしれません。販売量を $x$、売上を $y$ とおいて、もう少し数学っぽく書くと次のようになります。

$$y=f(x)$$

この式は、「ワイ・イコール・エフ・エックス」と読みます。$x$ と $y$ には何らかの関係（$f$）がある、という意味です。生活のまわりには変数があふれていますので、関数もそこかしこにあります。（私たちには、それがなかなか見えませんが…）

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4　関数のグラフ

販売量の2倍が売上になるとしましょう。この関係を関数で表すと

$$y=2x$$

$x$ と $y$ は変数、2は定数です。この関数はシンプルですが、複雑な問題を考えるときには複雑な式を使うこともあります。そんなとき、理解の助けとなるのがグラフです。下図は $y=2x$ のグラフです。

このグラフを使って、次のようなことを考えられます。

・いくつ売るといくらの売り上げになるか

・売上を達成するためにいくつ売ればよいか

こうしたことは、お店で日々話題になることだと思います。「アバウトな感じ」ではなく「かっちりとした関係を示すわかりやすいグラフ」を用いれば、運営方針を客観的に眺めたり、思考を一般化したりできます。

私たちは、お店の売上のような日常の問題に取り組むことが多いです。そういうときに力を発揮するのが、関数とそのグラフです。少しずつ学んで使ってみましょう。

数のひろがり

ブログのスタートとして、数のひろがりをみましょう。

目次

1. 数を並べる
2. 足し算と引き算
3. 掛け算と割り算
4. マイナスの掛け算
5. 数のひろがり

この記事を動画にしてみました。あわせてご覧ください。

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（数式の部分、スマホから見ると文字化けしてしまうかもしれません。TeX系の宿命です。申し訳ないです…）

1　数を並べる

1, 2, 3, …と数え上げていく数を自然数といいます。自然数を含んで0, -1, -2, -3, …と続いていく数を整数といい、整数を含んで分数で表せる数を有理数といいます。$\frac{1}{10}$ や $-\frac{3}{2}$ は有理数です。分数で表せない数を無理数といいます。自然対数の底 $e$ や円周率 $\pi$ は無理数です。有理数と無理数を合わせて実数といいます。

数直線にびっしり並んでいる、これが実数のイメージです。

* 自然数に0を含めることもあるようです。

* 有理数の分数は既約分数（それ以上約分できない分数）です。

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2　足し算と引き算

数直線を使うと、四則演算（＋, ー, ×, ÷）をイメージしやすくなります。足し算と引き算は、数直線を行ったり来たりするイメージです。

まず足し算からみましょう。1＋2は0を起点に1進み、さらに2進むイメージです。到達地点は3ですから、1＋2＝3となります。

つづいて引き算です。2ー3は0を起点に2進み、3戻るイメージです。到達地点はー1ですから、2ー3＝ー1となります。

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3　掛け算と割り算

掛け算と割り算は、伸び縮みのイメージです。

まず、掛け算からみましょう。1×2は1を2倍に引き伸ばすイメージです。到達地点は2ですから、1×2＝2となります。

つづいて、割り算です。割り算は逆数の掛け算ととらえます。4÷2であれば、4×$\frac{1}{2}$ ととらえます。4を半分に縮めるイメージです。よって4÷2＝2となります。

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4　マイナスの掛け算

マイナスの掛け算は、伸びを0を中心に反転させるイメージです。例として $1\times(-2)$ を挙げます。$1\times(-2)$ は次のように分解することができます。

$$1\times(-2)=1\times2\times(-1)$$
上で説明したように、1×2は、1を2倍に引き伸ばすイメージです。最後のー1は、0を中心に反転させるイメージです。到達地点はー2ですから、$1\times(-2)=-2$ となります。

最後の反転を可能にするのが $e^{i\pi}=-1$ という謎の公式です。

* $e^{i\pi}$ にある $i$ は虚数単位 $i=\sqrt{-1}$です。この式は、オイラーの贈り物といわれています。

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5　数のひろがり

まとめとして、数のひろがりを振り返ります。1, 2, 3, …と数え上げる数を自然数といいます。自然数に0, -1, -2, -3, …と続く数を加えたものが整数、整数を含み分数で表せる数を有理数といいます。有理数に分数で表せない数（無理数）を加えたものが実数です。

実数だけではマイナスの掛け算をきれいに表現できません。それで、数のフィールドを複素数へひろげます。

$i$ があれば、全て丸く収まる

と、落ちがついたところで今日はおしまいです。

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YouTubeの動画を参考にしました。英語が聞き取れなくても、みるだけでイマジネーションがひろがります。ぜひみてください。

https://www.youtube.com/watch?v=mvmuCPvRoWQ
https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg

ごあいさつ

数学が苦手な人、数学からしばらく離れていた人向けに、私の理解の範囲で、できるだけやさしく書いています。細かいことはさておき、気楽にご覧ください。

一口に文系といいましても、段階が色々あると思います。このブログでは、おおよそ次のような前提です。高校の途中まで数学やったけど…　という感じの方は楽しめると思います。

わかる、できる：四則演算（+, －, ×, ÷）、大小関係（$\leq, <, =$など）

だいたいわかる：自然数、整数、有理数、実数、分数、$\sqrt{2}$

やった記憶がある：微分、積分

あまり自信ない：指数、対数、$e$、$\pi$、虚数

聞いたことがある：集合、要素、空集合、全体集合、部分集合、補集合

　　　　　　　　　公理、定義、定理、逆、対偶、背理法、帰納法

"だいたい"とは、定義、定理、補題などを網羅的に、体系的に示すものではないということです。また、証明も付しません。これらについては当ブログの範囲を超えますので、専門書等でご確認をいただければと思います。

記事の内容については十分注意しているつもりですが、誤字・脱字や勘違い、計算間違いや理解の浅いところなどもあると思います。私は数学者ではありませんので、ご容赦いただければ幸いです。間違いに気付きましたら、みなさんにお知らせすることなく、随時更新します。どちらかというと、注ぎ足し注ぎ足しデミグラスソースのように、少しずつ陶冶してゆく編集方針です。

本ブログの記事を参考にしたことによって生じる一切の不利益等について、一切責任を取りません。この点免責事項として明記しておきます。試験等を受け、不合格等になりましても一切責任を取りません。本ブログは考え方のヒントを得たり、楽しむ範囲でご利用ください。

* 当ブログのフォントには、次のブログを参照して「こころ明朝」を採用しています。

https://cms.miraishumbo.com/2018/11/blogger-google-web-font.html

https://googlefonts.github.io/japanese/#kokoro

令和2年4月2日

令和6年4月27日更新